Diketahui fungsi berikut adalah kontinu: f(x) = ax+3, untuk x <= 2; x^2+1 untuk 2 < x <= 4 dan 5-bx untuk x>4. Berapakah nilai a+b?

www.jagostat.com

www.jagostat.com

Website Belajar Matematika & Statistika

Website Belajar Matematika & Statistika

Bahas Soal Matematika   »   Limit   ›  

Diketahui fungsi berikut adalah kontinu,

\[ f(x) = \begin{cases} ax+3, &\quad \text{untuk} \ x \leq 2 \\[1em] x^2+1, &\quad \text{untuk} \ 2 < x \leq 4 \\[1em] 5-bx, &\quad \text{untuk} \ x > 4 \end{cases} \]

Berapakah nilai \( a + b \)?

Pembahasan:

Untuk memeriksa kekontinuan fungsi tersebut kita dapat mengambil sembarang titik pada interval yang diberikan pada soal. Biasanya titik yang diambil adalah batas dari interval tersebut yang mana dalam hal ini di titik \(x = 2\) dan \(x = 4\). Karena fungsi \( f(x) \) adalah kontinu, maka berdasarkan syarat kedua, limit kiri dan limit kanan dari fungsi tersebut adalah sama.

Untuk di titik \(x = 2\), kita peroleh:

\begin{aligned} \lim_{x \to 2^-} \ f(x) &= \lim_{x \to 2^+} \ f(x) \\[8pt] \lim_{x \to 2^-} \ ax+3 &= \lim_{x \to 2^+} \ x^2+1 \\[8pt] 2a+3 &= 2^2+1 \\[8pt] 2a+3 &= 5 \\[8pt] 2a &= 5-3 \\[8pt] a &= \frac{2}{2} = 1 \end{aligned}

Untuk di titik \(x = 4\), kita peroleh:

\begin{aligned} \lim_{x \to 4^-} \ f(x) &= \lim_{x \to 4^+} \ f(x) \\[8pt] \lim_{x \to 4^-} \ x^2+1 &= \lim_{x \to 4^+} \ 5-bx \\[8pt] 4^2+1 &= 5-4b \\[8pt] 17 &= 5-4b \\[8pt] 4b &= 5-17 \\[8pt] b &= \frac{-12}{4} = -3 \end{aligned}

Dengan demikian, kita peroleh:

\begin{aligned} a + b &= 1 + (-3) \\[8pt] &= -2 \end{aligned}

Jadi, nilai \( a + b = -2 \).